Los puntos de Lagrange

Las cinco islas de equilibrio que el matemático logró ubicar en el sistema solar.

En 1772 el matemático y astrónomo italiano Joseph-Louis Lagrange verificó cálculos diferenciales y algebraicos mediante la existencia de cinco puntos en nuestro sistema solar —a los que hoy se identifica como L1, L2, L3, L4 y L5—, que por sus características son el centro de disputa de varios países en la carrera por conquistar el espacio.

Considerado uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, Lagrange trabajaba en ese momento de su vida en el estudio del denominado “Problema de los tres cuerpos”. Una temática espacial que en el último tiempo alcanzó cierta notoriedad a partir de una exitosa serie del sitio Netflix basada en ese fenómeno celeste.

El físico Isaac Newton (1643-1727) ya había publicado su Principia, ampliando las leyes del movimiento planetario y permitiendo comprender como y porqué planetas, lunas y cometas se mueven como se mueven, y así establecer con precisión sus trayectorias.

Sin embargo, como toda ley que se precie, siempre existen puntos y situaciones singulares, que escapan a sus alcances y exigen resoluciones adicionales para entender su funcionamiento. Una de esas cuestiones es el “Problema de los tres cuerpos”.

Las ecuaciones de Newton se ajustan a la perfección cuando se analizan los efectos gravitatorios existentes entre dos cuerpos de gran masa, por caso la Tierra con la Luna o la Tierra con el Sol. Pero esos cálculos se vuelven inciertos y erráticos cuando aparecen en escena los efectos gravitatorios de un tercer cuerpo.

En el espacio existen miles de sistemas orbitales donde convive esta cantidad de masas que, al interactuar las distintas fuerzas gravitatorias, generan un escenario de caos en sus órbitas, el cual resulta imposible predecir.

Esta situación, explican los científicos, se debe a que la energía no se crea ni se destruye. Cuando un planeta entra en el sistema gravitacional de una estrella, como la Tierra con el Sol, no puede “crear” energía para escapar de ese campo, permaneciendo allí, de forma estable, hasta el fin de los tiempos. Pero si ingresara un tercer componente de gran masa el escenario se torna de una complejidad no resuelta hasta el presente, siendo imposible predecir sus órbitas.

La relación de fuerzas entre dos cuerpos y el método de las cuadraturas integrales permiten determinar sus órbitas con precisión absoluta, las cuales, además, son inalterables en el tiempo. Sin embargo, cuando intervienen los tres cuerpos, el sistema no tiene una solución exacta, y pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden conducir a resultados completamente diferentes.

La maratón celeste

En la serie de Netflix, basada en la novela del escritor chino Liu Cixin publicada en 2006, los terrestres interactúan con los habitantes del planeta San-Ti, que es parte de un sistema de tres soles que fluctúa entre eras caóticas. Cuando ese planeta gira alrededor de uno de sus soles, tiene una época estable. Pero cuando lo atrae algunos de los otros dos, deambula en un campo gravitacional generado por las tres estrellas, provocando un caos que termina por destruir toda vida.

Los científicos de San-Ti intentan hacer predicciones sobre su futuro, pero no logran resolverlo y el planeta enfrenta situaciones límites permanentes. Si sucediera en la Tierra tampoco habría una respuesta. Si bien es un tema en constante estudio, hasta ahora sólo se han obtenido predicciones y simulaciones de algunos escenarios y en determinadas circunstancias.

Ahora, ¿por qué entonces nuestro sistema Sol-Tierra-Luna de tres cuerpos no deriva en un caos? La respuesta es que el Sol ejerce una mayor fuerza gravitacional sobre la Tierra mientras que la Tierra lo hace sobre la Luna, con lo cual el conjunto funciona como un sistema de dos cuerpos, con órbitas estables y predecibles.

Resolver el problema de los tres cuerpos no es algo menor: ayudaría a entender cómo influye un tercer objeto en la formación de los agujeros negros y comprender la evolución del universo de aquí a millones de años.

De cómo Lagrange le puso los puntos al tema

El primero en dar una respuesta al Problema de los tres cuerpos fue Lagrange. Lo logró trabajando sobre un caso “restringido” del problema, al considerar que el tercer cuerpo que entra en escena es pequeño y de poca masa. Con esa hipótesis estableció en qué puntos del espacio ese tercer elementos se puede ubicar sin sufrir ni generar afectación alguna de parte de los campos gravitacionales de los otros dos.

En 1772 estableció que todo conjunto espacial de dos masas grandes dispone de cinco puntos o sitios donde las fuerzas gravitacionales están equilibradas y ese tercer cuerpo, pequeño, no es afectado.

Son los hoy conocidos como Puntos de Lagrange, las cinco posiciones de un sistema orbital donde un objeto pequeño puede estacionarse sin sufrir alteraciones. Puntos que hoy son los que permiten ubicar un telescopio o un satélite sin que se altere su órbita a pesar de desempeñar el papel del tercer cuerpo.

El sistema Sol-Luna-Tierra tiene esos cinco puntos. Tres de ellos son inestables, es decir que cualquier pequeña perturbación provoca que el objeto allí colocado se aleje de su posición inicial. Los otros dos son estables y se localizan en el vértice de dos triángulos equiláteros formados por la Tierra y el Sol.

Todos los planetas del sistema solar tienen sus puntos de Lagrange. Uno de los casos más estudiados es el conjunto Sol-Júpiter, ya que por la existencia de esos puntos es que orbitan miles de asteroides a los que se conocen como “troyanos”. El hallazgo del primero de esos asteroides, en la primera década del siglo XX, fue “una bella confirmación” de la existencia de estos sitios de equilibrio que impide que los asteroides salgan de esa órbita. Con el tiempo se encontraron asteroides troyanos en Marte, la Tierra y Neptuno, los cuales comparten la órbita de cada planeta, atrapados en los puntos de Lagrange.

La denominación de “troyano” responde a la decisión de los científicos de asignarles el nombre de algunos de los personajes de la guerra de Troya. Cuando en 1906 se descubrió el primero en Júpiter se lo llamó Aquiles. En 1907 se detectaron otros dos, bautizados Patroclo y Héctor. Lo que no imaginaban los científicos es que la cantidad de asteroides atrapados por los puntos de Lagrange superarían, por lejos, los nombres disponibles. En 2010 se identificaron en Júpiter 2600 troyanos en el punto L4 y 1470 en el L5. Nuestro planeta tiene dos, el último bautizado 2020 XL5.

Una pelea por los puntos

Más allá de estos asteroides que orbitan planetas por la presencia de los puntos de Lagrange, estos sitios son clave en la carrera por conquistar el espacio, ya que permiten ubicar objetos en órbitas estables y, debido a su equilibrio, minimizan el consumo combustible.

Los puntos L4 y L5 están situados en posiciones fijas, a 60 grados por delante y 60 grados por detrás de la Tierra en su recorrido alrededor del Sol. Por ser estables son ideales para ubicar en ellos satélites y telescopios. Allí, cualquier nave espacial puede permanecer largo tiempo sin consumir demasiado combustible, permitiendo además una visión continua de nuestro planeta y realizar observaciones muy precisas de diferentes patrones meteorológicos.

En el caso de L1 y L2, son puntos que están próximos a la Luna, vistos desde la Tierra, uno se encuentra delante de ese satélite y otro detrás, del lado de la cara oculta.

La ausencia de interferencias atmosféricas y su proximidad a la Luna los hacen ideales para el estacionamiento de vehículos. Quien controle estas posiciones tendrá una ventaja significativa en materia de investigación espacial, comunicaciones y vigilancia. De allí la pulseada de los países que hoy se interesan y tienen los recursos para aventurarse en la conquista y el conocimiento del espacio.

Por estar detrás de la Luna, el sitio L2 en particular proporciona una vista sin obstáculos del espacio. Hacia ese punto fue lanzado en 2021 el Telescopio Espacial James Webb (JWST), a bordo del cohete Ariane 5 desde el Centro Espacial de Guayana.

Viajó durante un mes hasta L2, a 1,5 millones de kilómetros de la Tierra, logrando una posición estable con un mínimo gasto de combustible, protegido de la radiación solar y con una vista excepcional del universo profundo. Desde su puesta en operación, el JWST ha revolucionado la astronomía con imágenes y datos detallados sobre galaxias lejanas, exoplanetas y los primeros momentos del universo.

Estados Unidos pretende también colonizar los puntos L4 y L5 para crear en ellos un servicio de posición, navegación y sincronización para las naves espaciales.

Un lugar en el espacio

El punto L1 está en la recta entre la Tierra y la Luna y allí las atracciones opuestas de los dos cuerpos se compensan. Se encuentra a 1. 502.000 km de la tierra y es ideal para realizar observaciones del Sol y un acceso fácil a la órbita lunar y terrestre.

L2 está en esa misma línea, del otro lado de la Luna. En él, la atracción gravitatoria de la Tierra compensa la fuerza centrífuga de la Luna. Es un buen punto para los observatorios.

L3 está en la línea definida por la Tierra y el Sol, a 150 millones de kilómetros de nuestro planeta. Allí la fuerza gravitatoria combinada de la Tierra y del Sol hace que un objeto orbite con el mismo período que la Tierra. Este punto está en la misma órbita de la Tierra alrededor del Sol, pero en el lado opuesto, siempre oculto de nuestra vista. Es un lugar de equilibrio pero no es estable, por lo que no se han destinado misiones espaciales allí. La ciencia ficción ha especulado sobre la posibilidad de que exista un “planeta oculto” en L3, aunque no hay evidencia de ello.

Los puntos L4 y L5 están a 30 millones de kilómetros de nuestro planeta en uno de los vértices de triángulos equiláteros cuya base es la recta que une la Tierra y el Sol. Son puntos estables, de manera que un objeto colocado allí se mantendría en su órbita.

Los cálculos de Lagrange

Lagrange estableció la ubicación de sus cinco puntos a partir de consideraciones matemáticas basadas en la mecánica celeste y en la teoría de ecuaciones diferenciales para un sistema de dos cuerpos. Consideró al sistema en rotación con un mismo período para los dos cuerpos y buscó si existía un lugar donde la irrupción de un tercer cuerpo pequeño (un satélite o un asteroide) experimentaría una combinación de fuerzas que lo mantendría fijo en ese lugar.

Las fuerzas que actúan sobre ese tercer cuerpo son la gravedad de los otros dos, la fuerza centrífuga del sistema rotatorio y la centrípeta que mantiene al objeto en su órbita. Lagrange buscó donde esas fuerzas se cancelan, permitiendo al tercer cuerpo permanecer en equilibrio.

Planteando complejas ecuaciones y coordenadas adecuadas, encontró cinco soluciones para las mismas, sus cinco puntos.

Finalmente determinó cuales de esos puntos eran estables y cuales inestables. Para eso utilizó derivadas y sus comportamientos en caso de originarse pequeñas perturbaciones.

Final

Lagrange fue contemporáneo de varios genios de la matemática, como Leonhar Euler, Gaspard Monge y Pierre-Simon Laplace, con quien compartió varios de sus trabajos. Conmueve pensar que en 1772, escribiendo con pluma, alumbrado por la tenue luz de las velas, sin tecnología alguna de apoyo, tuviese semejante capacidad para hallar desde los números estas regiones con fuerzas gravitatorias celestes equilibradas, sin imaginar que en el siglo XXI las cinco soluciones de sus ecuaciones serían clave para adentrarse un poco más en los misterios del universo.

Para muchos es una prueba más de cómo el Creador de todo no eligió el camino de la improvisación para el funcionamiento del universo, sino que hizo de los números el alma mater de esa mecánica. Ya Galileo Galilei había señalado que: “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo” y Leonardo Da Vinci aseguró que “en los números se encuentra la explicación de todos los misterios”. Muchos siglos antes de Cristo, Pitágoras lo había resumido con una frase contundente: “Todo es número”.