Ese teorema lleva el nombre de Pitágoras, por ser este matemático y filósofo griego el primero en demostrarlo, unos 500 años antes de Cristo. Sin ese teorema, Pitágoras posiblemente no sería tan conocido ni difundido, a pesar de haber sido un protagonista clave en la historia de la matemática.
Pitágoras nació en Samos, una isla del mar Egeo, alrededor del año 570 a.C., y siendo muy joven se dedicó a viajar, recorriendo Egipto y Babilonia, donde conoció de cerca la astronomía y la matemática que manejaban esas culturas.
De regreso en Grecia se instaló en Crotona (al sur de Italia) donde fundó una escuela que funcionaba como centro de estudios, comunidad espiritual y espacio político. Era un lugar cerrado, de puertas adentro, misterioso y hasta secreto. Sus integrantes, los pitagóricos, tenían prohibido hacer públicas sus actividades, sobre todo las relacionadas con los números.
A partir de sus logros en ese ámbito, Pitágoras se convirtió en el protagonista de la considerada primera edad de oro de las matemáticas.
“Gracias a su genio, los números dejaron de utilizarse sólo para contar y calcular y comenzaron a valorarse como objetos en sí mismos. Estudió sus propiedades, las relaciones entre ellos y las figuras que forman, y concluyó que existen con independencia del mundo perceptible”, señala Simon Singh en su maravilloso libro El último teorema de Fermat.
En su recorrido por Europa y África Pitágoras descubrió que eran civilizaciones que disponían de sofisticados sistemas de cálculo y que recurrían a las matemáticas para solucionar problemas prácticos. Ya los egipcios sabían que un triángulo de tres y cuatro metros de lado generaba una hipotenusa de 5 metros y un ángulo recto.
Pero Pitágoras observó que esos cálculos se trasmitían de generación en generación, como una receta, sin que nadie los cuestionara o considerara su lógica. Por ello no podía asegurar que esas reglas realmente se cumplieran para todas las situaciones posibles, asumiendo el riesgo de que algún triángulo no verificara esa igualdad.
Por eso su escuela, en principio dedicada a la filosofía, se centró también en investigar varios principios matemáticos. La Hermandad Pitagórica sumó discípulos capaces de entender sus enseñanzas y de acrecentarlas con sus ideas.
La imaginación y las matemáticas no se contraponen; se complementan como la cerradura y la llave. Como la música, las matemáticas pueden prescindir del universo, cuyo ámbito comprenden y cuyas ocultas leyes exploran. Jorge Luis Borges
Fueron tantos los avances que tuvieron estos hombres que asumieron que era posible descubrir los secretos del universo y acercarse más a los dioses si comprendían las relaciones entre los números. El universo, señalaron, “fue escrito y se regía con caracteres matemáticos y los números eran la esencia de todas las cosas”.
La hermandad centró su atención en los números enteros y las fracciones, los denominados números racionales. Estudiaron incluso algunos números con ciertas particularidades, como los llamados “números perfectos”, cuyos divisores suman exactamente el valor del número al que dividen. El 6, por ejemplo, es perfecto porque sus divisores —1, 2 y 3— suman 6. Le sigue el 28, porque 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. A medida que se asciende se hace cada vez más difícil encontrarlos. Las computadoras actuales han detectado 52 números perfectos, el último de ellos con más de 130 000 dígitos. Sin embargo nadie ha podido demostrar si estos números son infinitos y si puede existir un número perfecto impar, ya que hasta ahora son todos pares. Este tipo de hallazgos de Pitágoras es uno de los tantos que llevó a matemáticos a profundizar, indagar y avanzar en este campo.
Uno de los hallazgos más trascendentes de Pitágoras fue establecer la relación que existe entre la armonía de la música y los números. Los músicos ya sabían que cuando determinadas notas sonaban juntas causaban un efecto agradable, de manera que afinaban sus liras buscando conseguir esa armonía, aunque sin saber qué relación había entre esas notas para que el sonido fuese placentero.
Pitágoras se entusiasmó con la idea de encontrar una relación mecánica para el oído, fiable e ingeniosa, que estableciera una regla para esa armonía. La leyenda señala que caminando delante de una fragua escuchó diferentes martillos golpeando el hierro, produciendo armonías a veces atractivas, otras desechables. Al momento se acercó al lugar, se concentró en esos martillos y encontró que las notas armónicas entre sí guardaban una relación matemática sencilla: sus masas eran fracciones simples de las del resto: aquellos martillos cuyos pesos mantenían entre sí la proporción de una mitad, dos tercios o tres cuartos producían sonidos armónicos.
Entonces, una cuerda suelta produce una nota y, si se pisa en el punto medio de su longitud, la nota resultante es una octava más alta y mantiene la armonía con ella. Pueden conseguirse más notas armónicas desplazando la presión hacia otros puntos que constituyan fracciones simples (un tercio, un cuarto, un quinto) de la cuerda. Pitágoras había descubierto la proporción numérica responsable de la armonía musical. Desde entonces, los científicos han buscado los principios matemáticos y han verificado cómo los números afloran en todo tipo de fenómenos naturales.
Y así es como Pitágoras escribió su frase más famosa:
“Todo es número”.
Entre todas las relaciones que estudió la hermandad, se destaca la demostración del teorema que lleva el nombre de su fundador y que verifica la ecuación que relaciona los lados de cada triángulo rectángulo, donde el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Si bien desde mil años antes esa relación era conocida por los chinos y los babilonios, nunca comprobaron si la misma era extensiva a todos los triángulos rectángulos. Pitágoras fue quien demostró, por primera vez, su valor universal.
Lo hizo a partir de una demostración matemática, lo cual es una prueba que lleva a una verdad absoluta, mucho más poderosa y rigurosa que cualquier demostración que solemos utilizar en el lenguaje cotidiano o que se tiene en física o en química.
Estas demostraciones se basan en este proceso lógico y, una vez probadas, son ciertas hasta el fin de los tiempos. Son absolutas. Pitágoras sabía que su teorema era tan cierto en el año 500 a. J.C. como en toda la eternidad. La historia jamás comprobada asegura que cuando se supo de la demostración del teorema se sacrificaron 100 bueyes en agradecimiento a los dioses. No eran sin embargo los pitagóricos proclives a ese tipo de celebraciones.
Se cree que Pitágoras demostró el teorema utilizando la semejanza de triángulos. Hoy en día existen al menos 370 demostraciones por distintos caminos. Euclides incluso lo verificó incluyendo a los números irracionales y hay unas resoluciones muy atractivas realizadas por el hindú Bhaskara II y por el polifacético Leonardo Da Vinci.
La visión pitagórica de que “los números son la esencia del universo” entró en crisis cuando descubrieron una “anomalía”. Ocurrió al aplicar el teorema de Pitágoras a un cuadrado con lados de longitud 1, lo que genera una diagonal de longitud raíz cuadrada de 2 (?2); un número que no puede expresarse como una fracción de dos enteros, es decir, un número irracional. Este descubrimiento generó una crisis en la escuela, ya que toda su filosofía se basaba en la creencia de que toda la realidad podía describirse mediante números racionales. De allí entonces una primera reacción, insólita, de ocultar la existencia de estos números. Matemáticos posteriores no solo los aceptaron, sino que trabajaron en función de los mismos. De hecho, tres números “famosos” como pi (
Pitágoras no escribió voluntariamente, quería que su pensamiento viviese más allá de su muerte corporal, en la mente de sus discípulos. Aquí vino aquello de Magister dixit (el maestro lo ha dicho). Jorge Luis Borges, El libro.
No se tienen precisiones de cómo ni dónde murió Pitágoras. Lo que sí es cierto es que en un momento su escuela fue atacada y sus miembros perseguidos, y tanto Pitágoras como sus discípulos se dispersaron por todo Grecia.
Según Hermipo de Esmirna, Pitágoras fue muerto por soldados. Otra versión indica que logró refugiarse en Metaponto, donde se dejó morir de hambre. Una tercera línea señala que vivió hasta los 100 años y siguió enseñando en secreto.
A pesar de no haber dejado ningún escrito, sus ideas perduraron a lo largo de los siglos, en un mundo donde todavía la ciencia acepta la idea de un universo que utiliza las matemáticas como un lenguaje fundamental para describir sus fenómenos, una herramienta poderosa y precisa en la ardua tarea de comprenderlo.