Shimura-Taniyama

Una conjetura que amplió el mundo de las matemáticas y que se perdió detrás de Fermat

Pocos logros entusiasman más a los matemáticos que el de poder establecer puentes o vínculos entre distintos campos de la matemática, caminos que relacionen mundos a veces completamente diferentes y que, inesperadamente, pasan a tener una íntima correspondencia.

Uno de esos puentes, considerados de los más “bellos y maravillosos”, fue planteado en la década del 60 por los japoneses Gorō Shimura (1930-2019) y Yukata Taniyama (1927-1958). El mismo empezó a gestarse a partir de una mínima “intuición” sobre una posible correspondencia entre una ecuación elíptica con una modular, ambas ubicadas en campos completamente disímiles y ajenos entre sí. La posibilidad de ese vínculo significaba disponer de una herramienta de extrema utilidad para resolver una enorme cantidad de problemas, hasta entonces inaccesibles.

Esa posible equivalencia fue sumando verificaciones y argumentos hasta alcanzar el rango de conjetura, es decir, convertirse en una proposición aceptada como verdadera, pese a que no ha podido ser demostrada, una hipótesis plausible.

A partir de esta conjetura se resolvieron decenas de problemas, aunque todos quedaron atados a su demostración, con lo cual ese mundo de resultados podía caerse en un segundo, si mostraba alguna falla.

Cuando parecía que encontrar una demostración era poco menos que imposible, apareció en escena Pierre de Fermat (1601-1665), una leyenda de los números que inesperadamente aportó el incentivo necesario para que un matemático decidiera trabajar de manera exclusiva para convertir la conjetura en teorema y hacerla válida por los siglos de los siglos.

El principio de las cosas, la tragedia

El mundo elíptico incluye objetos fundamentales de la teoría de los números y el álgebra, un campo donde los matemáticos se mueven con cierta comodidad. Las formas modulares, por su parte, son “un extraño objeto de la matemática” y por su rareza se las menciona como “un monstruo complicado”.

Dos matemáticos japoneses, Goro Shimura y Yutaka Taniyama, comenzaron a trabajar en ese tema en la década del 50. El azar los puso en contacto y unieron fuerzas y mentes buscando dar validez al planteo.

El campo modular es matemática de altísimo rango, con dos ejes complejos —con una parte real y otra imaginaria—, en un espacio hiperbólico de cuatro dimensiones. Es además una forma con un alto grado de simetría, característica muy valorada en el mundo de los números.

La región que ocupan las formas modulares es completamente distinta al de las curvas elípticas y hasta el trabajo de los matemáticos japoneses nadie había intuido una relación entre ellas.

Fue Taniyama quien detectó que los términos de una determinada serie modular eran idénticos a los números de una ecuación elíptica, que eran “una y la misma cosa”. A partir de esa coincidencia, se preguntó si esa reciprocidad existía para toda serie, es decir que toda expresión modular tenía su correspondiente curva elíptica, si cada forma modular era “una elíptica disfrazada”.

En verificar esa posibilidad trabajaron Taniyama y Shimura, concentrados en buscar más evidencias. El planteo fue tomando fuerza y empezó a ser considerado por los matemáticos de todo el mundo, entusiasmados por una posible llave que abría perspectivas y oportunidades maravillosas.

Sin embargo, cuando las perspectivas eran inmejorables para los japoneses, una bala puso su nota trágica.

La decisión de Taniyama

Yutaka Taniyama tenía 31 años cuando tomó una decisión inesperada: se suicidó. Para entonces su nombre era conocido desde 1955, tres años antes, cuando dio a conocer esa posible relación entre las formas modulares y las curvas elípticas.

Con un futuro prometedor tanto en las matemáticas como en su vida, de un momento a otro le puso fin a su camino. Dejó una nota detallando hasta donde había llegado con sus cursos de álgebra y se disculpó “por todo lo que su muerte les supondría”. En cuanto al motivo de semejante acción, su explicación fue confusa e intrigante. “Hasta ayer no tenía la intención de suicidarme. Más de uno debe haber notado que últimamente estoy cansado, tanto física como mentalmente. No es el resultado de un incidente particular ni de una cuestión específica. Simplemente he perdido la confianza en el futuro. Quizás mi suicidio pueda perturbar, que sea una especie de traición. Perdonen mi comportamiento. Es el último acto y lo hago a mi manera”. Un mes después se suicidó Misako Suzuki, la mujer con quien se iba a casar. “Prometimos que nunca nos separaríamos”, escribió.

Con enorme pesar, Shimura declaró que Taniyama había sido “el apoyo moral de muchos matemáticos”, incluido él mismo. “Probablemente nunca fue consciente del papel que estaba jugando. Sin embargo, nadie fue capaz de darle el apoyo que necesitaba. Me siento abrumado y con el dolor más amargo”.

Con el tiempo, Shimura volvió a trabajar en su teoría hasta obtener las verificaciones necesarias que la elevaron a la calidad de conjetura, a la que llamó de Taniyama-Shimura. Con esta herramienta los matemáticos podían abordar, a través del mundo modular, problemas elípticos que llevaban siglos sin ser resueltos y permitió avances significativos en la teoría de números y en la criptografía, esencial para la seguridad en la comunicación digital. Aún como conjetura, fue considerada, por lejos, uno de los logros matemáticos más significativos del siglo XX.

Sin embargo, inesperadamente, su alcance quedó opacado por un hecho menor y casi anecdótico: fue cuando un matemático encontró una consecuencia adicional de la conjetura: serviría para demostrar el denominado “Último teorema de Fermat”, uno de los más famosos de la historia, que llevaba tres siglos sin que nadie pudiese encontrar una resolución.

Fermat lo insinuó, Frey lo vio

En 1637, Fermat, uno de los matemáticos más talentosos de todos los tiempos, tomó el teorema de Pitágoras, aquel que indica que la suma de los catetos elevados al cuadrado de un triángulo rectángulo es igual a otro número también elevado al cuadrado, y aseguró que esa igualdad no se verificaba para ninguna otra potencia fuera del dos. Esa afirmación se transformó en algo mágico cuando, años después de su fallecimiento, su hijo encontró un escrito de su padre en el margen de su ejemplar de Arithmetica, en referencia a su teorema: “He descubierto una demostración maravillosa de esta proposición, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”. Ese escrito, esa aseveración, empujó a matemáticos de todos los tiempos a buscarla, en vano.

Cuando ya nadie parecía interesarse demasiado en comprobarlo, apareció en escena el matemático Gerhard Frey (1933-2013), planteando una posible solución. Frey partió de considerar que la teoría de Fermat era falsa y la reescribió como una ecuación elíptica. Es decir que alteró su apariencia, sin modificar concepto. Al plantearla de esa manera, debía tener su correspondencia modular, tal como indicaba la conjetura de Taniyama-Shimura. Si esa equivalencia no existía, el teorema era acertado.

Cuando se demostró que, efectivamente, la ecuación elíptica de Frey —es decir la fórmula de Fermat disfrazada— no tenía su correspondencia modular, Fermat estaba resuelto. Pero el puente de Taniyama-Shimura era una conjetura, no estaba demostrado.

Pero ese hallazgo de Frey movió los hilos de un matemático que llevaba años luchando por demostrar el teorema de Fermat. Se trataba del británico Andrew Wiles, completamente maravillado por el hallazgo y capacitado para intentar demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura.

Dos conjeturas convertidas en teoremas

Wiles tenía 33 años cuando supo que el teorema de Fermat quedaría demostrado si la conjetura era cierta. A eso le dedicó Wiles siete años de su vida. Hasta que llegó a un resultado. En 1993, en un Congreso realizado en la universidad de Cambridge, ante un auditorio que sabía que algo importante estaba por ocurrir, Wiles expuso, en tres días diferentes, su trabajo de cien páginas demostrando la conjetura de Taniyama-Shimura, convirtiendo en teorema ese maravilloso puente, dando base firme a cientos de problemas y dando por demostrado el teorema de Fermat.

Pese al gigantesco logro de haber comprobado la relación entre los campos modular y elíptico, la prensa y el común de la gente se interesó en otro titular: “Luego de 350 años quedó demostrado el último teorema de Fermat”. Hasta el día de hoy, Wiles es reconocido por eso. Una afirmación que tiene algo de verdad pero mucho de injusticia, porque quien planteó la llave para resolverlo fue Gerhard Frey y porque el logro más valioso de Wiles fue demostrar la certeza de Taniyama y Shimura. El mismo Shimura manifestó cierto fastidio cuando advirtió que la verificación del teorema de Fermat pareció más trascendente que la de su conjetura.

Errar es humano

La demostración de Wiles de 1993 fue entregada a varios expertos para su análisis, quienes luego de algunos meses detectaron una inconsistencia. A Wiles le tomó casi un año corregirla. Completó su trabajo a fines de 1994, sumando 30 páginas a la demostración original.

En cuanto a aquella aseveración de Fermat sobre que tenía una “maravillosa demostración” para su proposición, es cuanto menos dudosa. La matemática modular no existía en el 1600, con lo cual su trabajo debió caminar por otros andariveles. Nunca se sabrá si su verificación prosperaría a la hora de desarrollarla. Pero como Fermat era un genio, siempre contó con un margen de confianza que por siglos empujó a la ciencia a obtener enormes logros.

Los caminos

“Si he visto más es porque me paré en hombros de gigantes”, dijo el físico Isaac Newton al referirse a que sus logros llevan el mérito de sus antecesores. La demostración del teorema de Fermat por Wiles tiene mucho de eso.

Porque fue en 1985 que Gerhard Frey hizo la notable observación de que la conjetura Taniyama-Shimura permitía la verificación del teorema. La ecuación de Fermat relacionando ambos campos fue planteada por Jean Pierre Serre y demostrada como cierta por Ken Ribet. En esta línea de avances, Wiles ya sabía que probando la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables —ni siquiera para todo tipo de curvas— Fermat quedaba demostrado. Y eso hizo.

La prueba ampliada del teorema de Taniyama-Shimura fue realizada por Kenneth Ribet en 1999 y completada por Christophe Breuil en 2001 para todo tipo de curvas elípticas.

Gorō Shimura falleció en Princeton, Estados Unidos, el 3 de mayo de 2019. “Es conocido por la conjetura de Taniyama-Shimura, importante en la demostración del último teorema de Fermat”, indica Wikipedia. La realidad es que, por lejos, su descubrimiento excede ampliamente el haber sido útil para verificar ese mítico teorema de 1672.