¿Puede una aseveración tan simple ser parte de una gran contradicción? Claro, porque esa es la particularidad de toda paradoja, una frase que encierra cierta falta de lógica y que no puede aceptarse ni como verdadera ni como falsa.
En este ejemplo, si asumimos que la afirmación es cierta, implica que quien la dice es un mentiroso, pero a su vez estamos aceptando que lo que dice es verdad. Estamos ante una incongruencia.
Por otra parte, si asumimos que el enunciado es falso, quien lo dice no sería un mentiroso, pero hemos aceptado un enunciado falso y por tanto sí es un mentiroso.
La realidad es que el enunciado no es ni verdadero ni falso. O es ambos. Es una paradoja.
Más allá de parecer un juego de palabras, en realidad el mundo de las matemáticas, de la física, de la astronomía y de la filosofía está poblado de este tipo de paradojas, que no sólo están allí para confundir o entretener, sino que muchas veces conforman planteos que ponen en evidencia ciertas fisuras en el pensamiento y en ciertas definiciones que, tomadas como certeras, terminan por admitir otro tipo de interpretación. Esto, en el campo de los números, genera inconsistencias que es necesario entender o refutar.
“No sé de mejor calificación para la paradoja de Aquiles, tan indiferente a las decisivas refutaciones que desde más de veintitrés siglos la derogan, que ya podemos saludarla inmortal”, Jorge Luis Borges, La perpetua carrera de Ulises y la tortuga
La palabra “paradoja” proviene del latín y significa “contrario a la opinión común”, aunque esta definición resulta insuficiente para entender lo que conlleva una idea lógicamente contradictoria.
Una de las paradojas más famosas de la historia, y a la que más atención han prestados los más grandes matemáticos y pensadores de todos los tiempos, fue realizada por Zenón de Elea, filósofo griego de la escuela de Elea y que, según Aristóteles, fundó la dialéctica: “el arte de refutar”.
Unos 500 años antes de Cristo, Zenón planteó una carrera entre Aquiles, el más veloz de los humanos, y una tortuga, en la cual el animal tiene una ventaja inicial de unos metros.
El filósofo planteó que Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga porque cada vez que llegue a ella, ésta ya habría avanzado. Supongamos que la tortuga, en un instante dado, está a una distancia determinada delante de Aquiles. Cuando Aquiles llegue al punto donde estaba la tortuga, ésta se habría desplazado una décima parte del recorrido hecho por Aquiles. Cuando el héroe llegue a ese punto, la tortuga ya no estaría allí, se habría desplazado una centésima parte delante de Aquiles. Así, la tortuga siempre estaría delante y nunca podría ser alcanzada.
Zenón, mostraba con este ejemplo, la indivisibilidad del ser en el espacio. La carrera ocurre en un movimiento finito pero donde hay un número infinito de puntos, lo cual lleva al absurdo de que pueda recorrerse una cantidad infinita de tramos en un tiempo finito.
Aunque parezca un planteo sin sentido, este ha movilizado a matemáticos, filósofos y científicos a lo largo del tiempo, desde el mismísimo Aristóteles pasando por Descartes, Hobbes, Leíbniz, Mill, Renouvier, Georg Cantor, Gomperz, Russell y Bergson. Todos buscaron refutar ese planteo a través de matemáticas avanzadas y complejas ecuaciones relacionadas con el espacio y el tiempo.
La respuesta más aceptada, descansa sobre una teoría del infinito y los procesos en el tiempo, elaborada en el siglo XIX, y según la cual hay diferentes infinitos, unos más grandes que otros.
Jorge Luis Borges definió a esta paradoja como una joya: “no sé de mejor calificación, tan indiferente a las decisivas refutaciones que desde más de veintitrés siglos la derogan, que ya podemos saludarla inmortal”. Como lo dice él mismo, vale por tanto recordarla y preguntarse: “¿Tocar a nuestro concepto del universo por ese pedacito de tiniebla griega?”.
“La paradoja de Zenón de Elea, según indicó James, es atentatoria a la realidad del espacio y a la más invulnerable y fina del tiempo.(…) Esa descomposición, es mediante la sola palabra infinito, palabra de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata”.
La segunda paradoja de Zenón toma el modelo de una flecha arrojada y señala que para que se produzca su movimiento ésta debe cambiar de posición. Y concluye que para cualquier instante la misma no se puede mover donde no está dado que el tiempo allí no transcurre; ni tampoco lo puede hacer donde está, porque ya está allí. En otras palabras, la flecha está inmóvil, su movimiento es imposible.
El principal error en la paradoja es considerar al tiempo compuesto por una secuencia de “instantes” fijos. El cálculo infinitesimal permite entender el movimiento como un proceso continuo. En lugar de considerar cada instante como un punto estático, el cálculo toma en cuenta que la velocidad de la flecha es la derivada de su posición con respecto al tiempo. Aunque en cada instante la flecha ocupa un lugar, su velocidad en ese instante no es cero.
Entre dos instantes cualesquiera, siempre hay una infinita cantidad de instantes más pequeños. Esto permite que el movimiento ocurra incluso cuando cada momento parece estático.
En física, el concepto de movimiento se describe a través de las Leyes del movimiento de Newton. Que lo describen como continuo, donde la velocidad y la aceleración son cantidades bien definidas que cambian a lo largo del tiempo, sin necesidad de detenerse en cada instante.
Hace pocos años, por caso, se estableció el llamado efecto cuántico de Zenón, una característica de la mecánica cuántica que permite detener la evolución temporal de una partícula. “El efecto Zenón es la supresión de la evolución temporal en sistemas cuánticos proporcionada por una variedad de fuentes: medición, interacciones con el medio ambiente o campos estocásticos”. No es simple entenderlo, pero grafica el impacto de aquella flecha quieta desde hace 2500 años.
La paradoja del Gato de Schrödinger es otra propuesta famosa. La planteó en 1935 el físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961), premio Nobel de física 1933, mientras desarrollaba un modelo que le permitiera describir el comportamiento de la lógica cuántica. Fue en esa ocupación que propuso un experimento imaginario que consistía en introducir un gato en una caja cerrada, en la cual había una partícula radioactiva con un 50 % de probabilidades de desintegrarse y acabar con la vida del animal. Hasta tanto no se abriera la caja y se observara qué pasó, el gato podía estar vivo y muerto a la vez, pues, según la mecánica cuántica, los electrones tienen la capacidad de estar en dos lugares distintos simultáneamente, por lo que el gato estaría simultáneamente vivo y muerto. Sólo cuando se abre la caja se perturba ese estado y el gato pasará a estar vivo o muerto. Schrödinger sugiere con su gato que en un mundo de posibilidades abiertas éstas no se concretan en realidad hasta que interviene un observador; se está ante un evento subatómico que puede ocurrir o no. Schrödinger pretendía que el ejemplo ilustrara el absurdo de la visión existente de la mecánica cuántica.
El físico pretendía que su experimento aportar algo a la paradoja EPR, llamada así por sus autores Einstein, Podolsky y Rosen, que menciona que en un sistema cuántico un átomo o un fotón pueden existir como una combinación de múltiples estados con diferentes resultados posibles y así permanece hasta que interactúa con el mundo externo. Cuando aparece un observador la superposición colapsa en uno u otro de los posibles estados.
A Einstein le resultaba perturbador que en la mecánica cuántica resultara imposible obtener información útil sobre el estado total de un sistema de dos partículas independientes, y que operando sobre una se pueda modificar el estado de la otra de manera instantánea, una correlación que no tiene lugar en el mundo de las experiencias cotidianas.
Los físicos han desarrollado en el tiempo nuevas interpretaciones del problema, algunas de los cuales consideran que el gato esté “vivo y muerto” de manera simultánea es una posibilidad “bastante real”.
Dos más simples: el barco de Teseo y el barbero con barba
“Cambia lo superficial/Cambia también lo profundo/Cambia el modo de pensar/Cambia todo en este mundo”. Julio Numhauses
En un plano más filosófico y entre las más pintorescas paradojas, tenemos la leyenda de Teseo, publicada por Plutarco en el año 50.
Teseo, fundador de Atenas, regresaba de la isla de Creta luego de haber vencido al Minotauro, utilizando un barco bastante viejo. Durante el largo viaje, el navío se fue dañando y cada madera rota o desgastada fue reemplazada por una mejor.
Cuando Teseo llegó a puerto no quedaba una sola pieza del navío original. Este hecho suscitó una inquietud entre los filósofos de la época: “¿El barco en el que Teseo ha llegado es el mismo en el que ha salido de Creta?”.
La historia se convirtió en un disparador sobre la identidad de las cosas, una disputa entre quienes creen que el barco continúa siendo el mismo y quienes aseguran que no.
Esta paradoja se suele utilizar también con “el hacha del abuelo”. Una persona tiene esa herramienta heredada de su abuelo. En determinado momento se rompe el cabo y lo cambia por uno nuevo. Tiempo después reemplaza la cabeza de hierro. ¿Sigue siendo la misma hacha?
La paradoja empuja a pensar sobre la temporalidad de lo material y la idea de lo inmutable, sobre la identidad y la permanencia de los objetos. ¿Qué hace que algo siga siendo lo mismo? ¿Su forma o su función? ¿O es necesario que su parte esencial permanezca intacta? Un enfoque similar se puede aplicar a los seres humanos, que reemplazan continuamente sus células a lo largo de su vida, ¿siguen siendo la misma persona?
En Japón, los santuarios sintoístas se reconstruyen cada veinte años con madera nueva. Pero para los japoneses la continuidad a lo largo de los siglos es espiritual y proviene de la madera que se cosecha en un bosque considerado sagrado. El santuario ha sido reconstruido 62 veces pero nadie duda de que siga siendo el mismo.
En este caso, la historia ha derivado en amplísimos debates sobre la teoría de conjuntos en la matemática.
La paradoja indica que en un pueblo había un único barbero, el cual estaba autorizado a afeitar “sólo a los hombres que no se podían afeitar a sí mismos”. La paradoja surge al incluir al propio barbero en ese esquema. Porque como él se puede afeitar a sí mismo no está incluido entre los que él puede afeitar. Luego, no se puede afeitar.
Este planteo fue tomado en 1901 por el matemático y filósofo Bertrand Russell (1872-1970) para ilustrar la contradicción que se genera en “todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos”. Esto derivó en cuestionamientos a la teoría de conjuntos que permitía su formación sin restricciones. El problema surgía al considerar un conjunto que contiene a todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Si este conjunto se contiene a sí mismo, entonces, por definición, no debería estar en ese conjunto. Esta paradoja deja a la luz algunas contradicciones en las matemáticas y en la lógica formal.
Para resolverla, Russell introdujo una jerarquía de conjuntos, evitando que un conjunto pueda referirse a sí mismo y así forma evitar contradicciones. Sin embargo este planteo no resolvió el conflicto, simplemente lo eludió. En 1931 el lógico, matemático y filósofo austríaco Kurt Gödel publicó el teorema de la incompletitud, mediante el cual demostró que estas paradojas a veces se pueden evitar pero no resolver, lo cual es un síntoma de la imposibilidad de la aritmética básica de explicar a veces su propia consistencia.
Nunca deja de maravillar y sorprender las complejidades que rodean el mundo de las matemáticas, del pensamiento y de la lógica. Las paradojas son parte de ese universo, están allí para poner su condimento y ampliar los desafíos. Porque sólo una cosa es cierta: que todo es mentira.