“Tengo razones suficientes para creer que la secuencia de los números primos es un misterio en el que la mente humana jamás podrá penetrar”. Leonhard Euler

Se los llama números primos y, según demostró Euclides 300 años antes de Cristo, su cantidad es infinita. Se los podría aceptar como un campo más de las matemáticas, como son los números enteros, los irracionales, los negativos, o los imaginarios. Pero su rareza los colocó en un lugar especial y por siglos los matemáticos más brillantes –por caso Gauss, Fermat y Laplace– se metieron con ellos.

En la actualidad, dos de las conjeturas más conocidas de las matemáticas se refieren a las propiedades de estos números. Por otra parte, la criptografía, la ciencia que genera claves informáticas, se apoya en los primos para proteger correos electrónicos, bases de datos y los más delicados secretos del planeta.

Ellos

Por definición, un número primo sólo es divisible por dos números: la unidad y por sí mismo. Por convención, se dejó fuera de esta consideración al 1, con lo cual el primer primo (y el único par) de una lista infinita es el 2. Lo sigue el 3 (primo, sólo divisible por 1 y por 3) y no acusa primalidad (no es primo) el 4, por ser divisible por 2, además de 1 y 4.

A medida que se avanza en la recta de los números hacia el infinito, a los primos se los va encontrando con menos frecuencia. En todos los casos, desde el 2 en adelante, se ubican sin un orden que se pueda precisar o anticipar. Una vez encontrado un primo no se tiene manera de saber cuán cercano o lejano está el que lo sigue. Ésta es, de alguna manera, una de las grandes atracciones que han ejercido en las matemáticas. Como si la mente humana se revelara sobre el capricho de Dios de dejarlos a la deriva, sin un patrón, sin una razón de ser, sin un orden que pueda determinarse a partir de una fórmula.

Para los matemáticos ha sido siempre un fastidio la ausencia de pautas en cuanto a su aparición. Puede haber dos primos separados por pocos números y otros donde esa distancia es inmensa. De hecho, a medida que son más grandes, el siguiente está tan lejos que a veces hace pensar que no se lo va a encontrar jamás. De hecho, hoy existen grupos de computadoras verificando las 24 horas de todos los días del año la primalidad de los números que siguen al último hallado. Ya ha pasado un año sin encontrar el siguiente.

Esta situación ha llevado a los más grandes matemáticos a buscar una fórmula que indique alguna pauta de cómo se ubican. Rechazan (no se resignan) a que su ubicación es puro azar. No hay que olvidar que los griegos enseñaron que los dioses escribieron el universo “con caracteres matemáticos” y maravillas como el teorema de Pitágoras dan cuenta de cómo asociaron esa situación con la perfección. La alocada presencia de los primos no es una situación que estén dispuestos a aceptar.

La búsqueda

Los primos están, sólo hay que hallarlos. Eratóstenes de Cirene, que vivió hasta el 194 a.C, diseñó una criba que permite encontrar primos menores de 10 mil millones, aunque su sistema se vuelve de extrema lentitud a medida que se avanza en la recta.

Grandes matemáticos han dedicado su intelecto a resolver como verificar de manera certera la primalidad de un número. El sacerdote y matemático Marin Mersenne (1588-1648) generó una fórmula que es la que más se utiliza. El Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), proyecto de voluntarios que utilizan los programas con el fin de buscar números primos de Mersenne, ha hallado quince de esos números. El más grande fue descubierto en 2016.

Pierre de Fermat (1601-1665) aseguró que “todo número primo de la forma (4n más 1) es suma de dos cuadrados”. Típico de él, no se ocupó de demostrarlo. Leonhard Euler (1707-1783), dedicó siete años a demostrar esa afirmación. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) llamó a esa fórmula “una de las más bellas flores en el jardín de los números”.

En 1640 Fermat escribió a su amigo Bernard de Bessy que “todo primo mide las potencias menos uno de cualquier progresión en la que el exponente es un múltiplo del primo dado menos uno. Le enviaría la prueba si no temiese que es demasiado larga”, le dijo. Demostrado tiempo después por otros matemáticos, es el otro teorema más usado para verificar la primalidad de números muy grandes.

La conjetura de Golbach: la simpleza de lo irresuelto

En 1752, Christian Goldbach, un destacado matemático prusiano, le escribió a Euler una carta donde incluyó una conjetura que lleva 265 años esperando ser demostrada.

Goldbach aseguró algo de extrema simpleza: “Todo número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos”. Por ejemplo el 14, que es igual a 3 más 11. Su conjetura es considerada hoy uno de los problemas más difíciles de la historia de la ciencia.

Las computadoras actuales han aplicado su conjetura a primos menores a dos mil billones, verificándose siempre como correcta. Sin embargo, mientras no se demuestre no podrá abandonar su grado de conjetura, que en cualquier momento puede convertirse en falsa.

Gauss asumió que era una tarea titánica buscar una fórmula que permitiera saber cuándo y cuál era el siguiente primo. Lo que sí hizo fue calcular qué cantidad (bastante aproximada) de primos había entre dos números dados, con lo cual podía estimar su frecuencia de aparición. Así estableció, por ejemplo, que entre 1 y 10 millones existen 455.052.512 primos. Para ésto relacionó su fórmula con los logaritmos naturales, es decir de base e. El “teorema de los números primos” de Gauss fue demostrado en 1896 y es considerado, también, como uno de los más bellos de la matemática.

Riemann: el lugar de los primos

El matemático Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) vivió 40 años y dejó al mundo una de las conjeturas más famosas, complejas y (hasta ahora) no demostrada de las matemáticas y, de manera adicional, la única capaz de ubicar a los números primos en un lugar determinado del universo.

Riemann estudió la conjetura de Gauss a partir de una función diseñada por Euler y dio un paso trascendental al llevarla al dominio de los “números complejos”, es decir, aquellos formados por dos términos, uno imaginario y otro real.

Riemann, impulsado por su intuición, planteó su ecuación z, cuyos ceros no triviales (los difíciles de hallar) se encontraban alineados en una recta definida como x igual a ½. En lenguaje matemático significa que: “La parte real de todo número cero no trivial es ½”.

Esa ecuación admite ser escrita de otra manera, de modo que se relacione con los números primos y establezca un patrón para su ubicación. Es decir, que si se demostrara su conjetura, se tendría una respuesta al orden de los primos en el universo y se podría asegurar que, finalmente, su ubicación no es azarosa, sino que sigue ciertas pautas en su distribución.

La comunidad matemática está convencida de la veracidad de la conjetura de Riemann, pero no logra demostrarla. Hasta hoy se han encontrado cerca de diez millones de ceros no triviales, y todos se encuentran sobre la recta por él indicada. Pero nadie puede asegurar que en algún momento aparezca un cero fuera de ella y la conjetura pase a ser falsa.

Se dice que en cierta ocasión le preguntaron al matemático David Hilbert cuál sería la primera información que le gustaría conocer si despertara dentro de cien años. Dijo: “preguntaría si la conjetura de Riemann fue demostrada”.

Hoy existen decenas de hipótesis basadas en la conjetura de Riemann, con lo cual su demostración les daría sustento definitivo y un impacto favorable en la mecánica cuántica, la teoría del caos y la computación.

Por ello, el Instituto Matemático Clay, de la Universidad de Cambridge en Massachussets, estableció un premio de un millón de dólares a quien demuestre esta Hipótesis.

Los usos

Las claves criptográficas para el correo electrónico, las transacciones bancarias y las tarjetas de crédito, entre otros componentes del mundo actual, se protegen mediante claves basadas en los números primos. Es de máxima complicación, por caso, establecer un número que surge como el producto de dos números primos. En valores grandes una computadora puede demorar millones de años en encontrar ese par. Con dos números primos se puede construir una clave prácticamente inviolable. Por eso muchas empresas están a la espera de que se encuentren nuevos primos para comprarlos y utilizarlos en sus claves.

En los últimos diez años apenas se descubrieron siete primos, uno en 2006; dos en 2008; uno en 2009; dos en 2013 y el último, en enero de 2016, con 22.338.618 dígitos.

Por ésto y por su misteriosa existencia, las computadoras siguen trabajando de manera permanente buscando el siguiente primo. No saben cuán lejos puede estar. Pero saben que existe. Así lo demostró Euclides. Y en matemáticas, aquello que se demuestra tiene carácter de verdad, por los siglos de los siglos.