Abril 2019 - Año XXVII
Al borde de la línea

La cuadratura del círculo: la búsqueda de una equivalencia imposible

por Ing. Mario Minervino

Durante más de 3 mil años matemáticos y geómetras intentaron, mediante el uso de una regla y un compás, dibujar un cuadrado de superficie igual a la de un círculo dado. Cuadrar el círculo desveló a todos, hasta que la determinación de número 𝜋 se encargó de volverlo imposible.

En el Códice II de Leonardo Da Vinci que conserva la Biblioteca Nacional de España, en Madrid, el mítico científico, matemático y pintor italiano escribió que “una noche de noviembre de 1504”, en pleno Renacimiento, y “antes de que se consumiera la luz de la última vela”, había encontrado el método para cuadrar el círculo.

Leonardo, el hombre que intuyó un aeroplano y pintó una sonrisa única en la Mona Lisa, aseguró haber encontrado el camino que los propios griegos terminaron por eludir y que matemáticos de todos los tiempos transitaron. Sin embargo no se ocupó, al día siguiente de su supuesto hallazgo, de describirlo en detalle. Su método, si existió, quedó perdido en la tenue luz de aquella noche.

Un siglo más tarde, el matemático Pierre de Fermat realizó una jugada similar al asegurar haber hallado la solución a uno de sus teoremas. En su ejemplar de Arithmetica de Diofanto escribió: “Es imposible convertir cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto una demostración excelente. Pero este margen es demasiado pequeño para que quepa en él”.

Esa supuesta resolución del denominado “último teorema de Fermat” avivó la imaginación y el esfuerzo de decenas de matemáticos, aunque sólo logró ser demostrado 400 años después.

La aseveración de Leonardo, sin embargo, no despertó tanta adrenalina y quedó definitivamente sepultada 300 años después, cuando un matemático alemán demostró la imposibilidad de llevar a la realidad esa equivalencia de superficies.

El hombre de Vitruvio

El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo realizado por Leonardo da Vinci en 1490. Representa una figura masculina con dos posiciones de brazos y piernas, inscrita en una circunferencia y en un cuadrado.

Se trata de un estudio referido a las proporciones del cuerpo humano, las de un supuesto hombre perfecto, a partir de los textos del arquitecto romano Vitruvio.

Muchos estudiosos pretenden ver en este gráfico de Leonardo un mensaje escondido acerca de cómo resolver la cuadratura del círculo.

A partir de libros como el Código Da Vinci, ese supuesto mensaje ha reforzado su leyenda. Detrás de todo (y de todos), sin embargo, está 𝜋. Irracional, trascendente e infinito.

De qué se trata

No sorprende que fueran los griegos, apasionados matemáticos, los primeros en tratar de resolver la cuadratura del círculo.

Ahora, ¿Qué significa cuadrar un círculo? Algo muy simple: dado un círculo cualquiera, construir un cuadrado con su misma superficie.

Nada que pareciera complicado. Ni siquiera aceptando que el área circular es un valor aproximado. Ésto se debe a que la relación entre su perímetro y su diámetro es un número irracional y con infinitos decimales que no siguen patrón alguno. A ese número se lo denominó, en 1706, con la letra 𝜋.

Ese número ya figuraba en La Biblia, que le asignaba el valor 3, a secas, y los egipcios, unos 2 mil años antes de Cristo, lo mencionan en el papiro Rhind, con el valor 3,160493827.

Pero la historia de 𝜋 no es motivo de esta nota. Sino sobre cómo construir un cuadrado de igual superficie a un círculo dado. La dificultad radica en la manera en que los griegos planteaban hacerlo: utilizando exclusivamente regla y compás una cantidad finita de veces. Graficar esa equivalencia entre las dos figuras, utilizando esas herramientas, es resolver la cuadratura del círculo. Ningún matemático sabía todavía que “por culpa de 𝜋” esa búsqueda no tenía solución.

Todos los geómetras, todos

A lo largo de los siglos, destacados geómetras buscaron cuadrar el círculo. Muchos dedicaron horas y horas de sus vidas intentando acercarse un poquito más a dibujar esa equivalencia.

En términos matemáticos, cuadrar un círculo significa generar un área igual a 𝜋 x r2.

El cuadrado resultante tendrá lados de valor de r x raíz cuadrada de 𝜋, lo que equivale a la necesidad de construir este último valor, utilizando regla y compás.

El avance que lograban los matemáticos respondía a haber encontrado nuevos decimales de 𝜋. Arquímedes, por caso, creó una suerte de algoritmo para calcularlos con la precisión que se quiera. Pero sin calculadora ni computadoras, cada nuevo decimal podía demandar años de realizar cuentas.

Ptolomeo, astrónomo, calculó 𝜋 como 3 + 17/120, considerado un resultado magnífico, a partir de trazar un polígono de 120 lados.

Hay un largo listado de chinos, indios y alemanes que trabajaron en la búsqueda de más decimales. Para 1630 se tenían determinados 39. Con hombres de la talla de Gottfried Leibniz e Isaac Newton y la creación del análisis infinitesimal, calcular 𝜋 dejó de ser una cuestión de polígonos para convertirse en una cuestión matemática. En 1719 se llegaron a conocer 112 cifras, en 1841, 208 cifras y en 1847, 248 cifras.

Hoy, con computadoras que analizan de manera constante a 𝜋, se conocen 10 millones de millones de decimales. La cuadratura, sin embargo, no es posible.

El verdadero impedimento

En la antigüedad, a los buscadores de la cuadratura se los llamaba –a modo humorístico—morbus Cyclometricus, como si una suerte de agente infeccioso los llevara a buscar cada vez más decimales de 𝜋 para estar más cerca de la cuadratura.

Dudero, Anthonisz, Thomas Hobbes y John Wallis fueron algunos de los entusiastas soñadores, además de aficionados como el fabricante de jabones Jacob Marcelis (1636-1714), cuyo trabajo fue descalificado por un estudioso de la época que señaló su esperanza que “sus jabones fueran mejor que sus cálculos”.

En 1753 la Académie Francaise decidió no analizar más demostraciones de la cuadratura. Poco a poco, el desfile de cuadradores fue menguando, aunque nunca terminó de desaparecer.

Pero la historia encontró un punto final en 1882, a partir de una demostración referida a las características del número 𝜋.

Entre la diversidad de números que se reconocen en el campo de las matemáticas existe un grupo factible de “construirse” utilizando regla y compás, de acuerdo a la exigencia de los griegos.

Se los llama los “construibles” e incluyen incluso a varios números “irracionales”, como es el caso de la raíz cuadrada de 2. Pese a ser irracional, su valor se puede graficar.

Ser construible significa, además, ser algebraico, lo que equivale a decir que ese número es solución de alguna ecuación cuadrática.

Los números que no se pueden graficar resultan ser “no algebraicos” y tienen un nombre más popular y atractivo: se los llama “trascendentes”, no en el sentido de ser muy importantes sino porque “trascienden el poder de los métodos algebraicos”.

Es sumamente complicado demostrar si un número es o no trascendente. Hasta hoy existen números muy significativos de la matemática que se desconoce si corresponden o no a esa categoría.

En 1882 el matemático alemán Carl Louis Ferdinand von Lindemann demostró que 𝜋 es trascendente y, por lo tanto, no es construible. Es decir que 𝜋 no se puede construir a la manera griega, en una cantidad finita de pasos, utilizando regla y compás.

En el mismo momento que Lindemann terminó su demostración, cuadrar el círculo se aceptó como imposible. La calidad de trascendente de 𝜋 impide generar ese cuadrado tan deseado.

Un poco más

A pesar de la demostración de Lindemann, muchos siguieron trabajando en la posibilidad de cuadrar el círculo. Se asegura que todavía hoy universidades en todo el mundo reciben algún tipo de demostración. En general las mismas se entregan a los alumnos, quienes en poco tiempo detectan donde está (siempre está) el error.

Porque cuadrar el círculo es imposible a partir de una demostración matemática, las cuales, se sabe, son válidas e irrefutables por los siglos de los siglos.

Otros dos imposibles

Además de la cuadratura del círculo, existen dos problemas que nadie pudo resolver, siempre recurriendo al uso exclusivo de regla y compás.

Uno es trisectar un ángulo, es decir, dividirlo en tres partes iguales, una tarea simple en su planteo pero imposible de resolver. La misma resulta más llamativa cuanto, con esos mismos elementos, se puede dividir un ángulo cualquiera en 2, 4 u 8 partes, y también trisectarse ángulos como el recto y el llano.

El tercer problema sin salida es duplicar un cubo.

El problema lo generó el oráculo de Delfos, que indicó a los griegos que para contener una plaga que azotaba al país debían doblar en volumen el altar de Apolo. El altar era un cubo y nadie pudo resolver su duplicación: duplicando los lados de esa figura, ésta se octuplica. Ni hombres de la talla de Descartes, Fermat o Newton lograron jamás resolverlo.


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