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Junio 2011 - Año XXI
Al borde de la línea

La conjetura del millón de dólares

por Ing. Mario Minervino

Grigori Perelman y su singular historia

G

rigori Perelman es el nombre del matemático más destacado y talentoso del mundo de estos tiempos, para muchos el hombre más inteligente que camina por esta tierra. Ruso de nacimiento, nació en Leningrado en 1966, convirtiéndose poco menos que en una leyenda por cuestiones casi ajenas a los logros obtenidos en su especialidad. Perelman, conocido en el mundo de las ciencias y entre sus colegas de todo el mundo, alcanzó las páginas de los diarios cuando decidió rechazar el premio de un millón de dólares establecido por el Clay Mathematics Institute (CMI), como reconocimiento a la demostración que logró de la denominada “Conjetura de Poincaré”, uno de los “siete problemas del milenio”, aduciendo que no necesita ese dinero como reconocimiento y molesto con algunos colegas que comenzaron cuestionando su trabajo.

Jesús sobre las aguas

“No hay problemas que no se puedan resolver, existen los difíciles de resolver”, declaró hace algunas semanas el matemático en una entrevista publicada por el diario Komsomolskaia Pravda. En ese excepcional contacto con el periodismo, Perelman aseguró que la demostración de la conjetura se le ocurrió mientras trataba de entender uno de los milagros atribuidos a Jesús. “Yo quería calcular la velocidad con la que debió caminar Jesús sobre las aguas para no haberse hundido”, señaló en referencia a la conocida historia que menciona el Nuevo Testamento. De cómo una cosa llevó a la otra no fue dada a conocer. Mencionó además en la ocasión las razones por las cuales rechazó el premio millonario, indicando que una de las causas fue que el Instituto que lo otorga aseguró que él era el hombre que sabía “cómo gobernar el Universo”. “Si yo sé realmente gobernar el Universo. ¿Por qué tendría que correr detrás de un millón?”, señaló. En realidad, se dice que el matemático se sintió ofendido cuando algunos matemáticos pusieron en duda su demostración, asegurando que él “solo indicaba” como podía demostrarse. También se insinuó que dos matemáticos chinos ya habían propuesto esa cuestión. Lo cierto es que a partir de estas situaciones, Perelman declinó del premio, renunció a sus trabajos en varias universidades y, aseguran, se recluyó en casa de su madre.

Problemas de otro mundo

No es simple para cualquier mortal entender en qué cuestiones matemáticas trabaja la cabeza de gente como Perelman, sumergidos en demostrar los denominados “problemas del milenio”, en muchos casos con más de un siglo sin que nadie los haya podido resolver. Perelman es especialista en geometría riemanniana y topología geométrica. Ha demostrado la conjetura de geometrización de Thurston, lo que le permitió luego resolver la famosa conjetura de Poincaré, una de las hipótesis matemáticas más importantes y difíciles de demostrar.

En 2006 fue distinguido con la Medalla Fields, el mayor honor para un matemático, por “sus ideas revolucionarias en la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci”. Sin embargo, él declinó el premio y evitó asistir al Congreso Internacional de Matemáticos donde se realizó la entrega. “No quiero estar expuesto como un animal en el zoológico. No soy un héroe de las matemáticas. Ni siquiera soy tan exitoso”, explicó.

Fue la primera señal de una conducta que lo llevaría también a decir que no, al menos por ahora, al millón de dólares.

Conjetura de Poincaré

La conjetura de Poincaré fue planteada en 1904 por Henri Poincaré. En términos relativamente sencillos, la misma indica que si una variedad tridimensional cerrada es suficientemente similar a una esfera, en el sentido de que cada bucle puede transformarse en un punto, entonces se considerará que es una esfera tridimensional. Por algún tiempo se supo que esto es cierto para dimensiones mayores; sin embargo, el caso de variedades tridimensionales ha resultado más difícil porque cuando se manipula topológicamente hay pocas dimensiones para mover sin interferir con algo más.

Siempre se ha aceptado que una demostración exitosa de esta conjetura constituiría un hito, comparable con la demostración de Andrew Wiles del conocido como Último Teorema de Fermat. En noviembre de 2002, Perelman consideró terminada su demostración de esa conjetura, aunque no recurrió a una publicación científica y muchos menos a un congreso para dar a conocer su trabajo. Se limitó a subir el mismo al sitio arXiv de internet, mediante una serie de artículos de libre acceso con una demostración entendible para un reducido grupo de especialistas. El 10 de marzo de 2003 publicó un segundo trabajo, de 22 páginas, con el título “Ricci flow with surgery on three-manifolds”, en el cual complementó el preprint anterior. Un mes después ofreció un ciclo de conferencias sobre el tema en el Departamento de Matemáticas del Massachusetts Institute of Technology (MIT). Fue la primera discusión pública de sus resultados. (Puede visitarse enéste sitio)

Más de 100 matemáticos asistieron a esas exposiciones, entre ellos Andrew Wiles, autor de la demostración del Último Teorema de Fermat, y John Forbes Nash, famoso a partir de demostrar el teorema según el cual toda variedad riemanniana puede ser inmersa en algún espacio euclidiano, “una de las obras de análisis matemático más importantes del siglo”.

El periódico New York Times dio a conocer de inmediato la noticia sobre la demostración en un reportaje titulado Celebrated Math Problem Solved. Desde entonces su trabajo fue también cuestionado. El matemático Peter Sarnak expresó que Perelman “logró un avance notable” aunque agregó que “podría tener errores en lugares muy delicados”. Sarnak destacó además que el trabajo excedía la demostración de la conjetura: “Él no está confrontando directamente a Poincaré. Está tratando de conseguir una meta mucho más ambiciosa”, aseguró.

Puestos los entendidos a analizar la demostración, no encontraron ningún fallo sustancial, con lo cual la comunidad científica concluyó que había desentrañado el enigma enunciado por Poincaré. En junio de 2006, la Revista Asiática de Matemáticas (Asian Journal of Mathematics) publicó un artículo de los profesores Xi-Ping Zhu y Huai-Dong Cao, afirmando dar una demostración completa de las conjeturas de Poincaré y geometrización, “dando los últimos toques a la demostración completa”.

Ese año, un comité de nueve matemáticos decidió distinguir a Perelman con la Medalla Fields por su trabajo, aunque el matemático contestó que esa distinción le era “completamente irrelevante”. “Si la demostración es correcta, no necesita ningún otro reconocimiento”, comentó. La Medalla, destinada a premiar descubrimientos sobresalientes en matemáticas, se concede cada cuatro años a matemáticos menores de 40 años de edad, con una retribución de 10.000 euros.

Los problemas

La Conjetura de Poincaré es uno de los siete problemas del milenio lanzados por la Fundación Clay en 2000, en conmemoración de los míticos 23 problemas enunciados por David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de París, en 1900.

El planteo pretende discernir la topología del universo explicando la relación existente entre formas, espacios y superficies. Su demostración, que la reconvirtió en teorema, ayudará a catalogar todas las formas tridimensionales del Universo.

En otras palabras, la superficie de la Tierra es lo que la topología define como “una esfera bidimensional”, que si uno quisiese enlazar con una cuerda podría ser ajustada hasta un cierto punto. En la superficie de una rosca, sin embargo, una cuerda que pase a través de su hueco central no puede ser ajustada sin que, a un cierto punto, se corte esa superficie. Desde el siglo XIX, los matemáticos han sabido que la esfera es el único espacio bidimensional cerrado con esta propiedad, pero no estaban seguros sobre objetos con más dimensiones. La Conjetura de Poincaré asegura que una esfera tridimensional es el único espacio tridimensional cerrado sin agujeros. Perelman lo demostró.

Jules Henri Poincaré

Jules Henri Poincaré (Nancy, 1854 – París, 1912), fue un prestigioso matemático, científico teórico y filósofo de la ciencia. Es señalado como el último “universalista” capaz de contribuir en todos los ámbitos de la disciplina matemática. Elaboró diversos trabajos sobre las teorías de la luz y las ondas electromagnéticas, y desarrolló algunos conceptos básicos de la Teoría de la Relatividad, luego desarrollada por Albert Einstein. Su conjetura es uno de los problemas más desafiantes de la topología algebraica. Fue, también, el primero en considerar la posibilidad de caos en un sistema determinista, en su trabajo sobre órbitas planetarias.

Los siete problemas

El Instituto Clay de Matemáticas, en Cambridge, anunció en mayo de 2000 la entrega de un millón de dólares por la resolución de cada uno de los denominados “Siete Problemas del Milenio”. La conjetura de Poincaré es el único resuelto desde entonces. Los problemas a resolver son los siguientes:

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